jueves, 3 de diciembre de 2009

ACTIVIDADES POST

Utilizando el Derive, para realizar las gráficas resuelva para cada función:
1 grafique.
2.Intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento.
3.Indique los puntos de discontinuidad (si los hay).

ACTIVIDADES DURANTE

FUNCIÓN

http://www.youtube.com/watch?v=P4VQgjLI03U

PARA INICIARNOS EN EL CONCEPTO DE FUNCIÓN OBSERVA EL SIGUIENTE VIDEO

http://www.youtube.com/watch?v=pySTZAeorno

A continuación presentamos algunas definiciones generales de modelos matemáticos ó función.

Un modelo matemático es una expresión algebraica que indica la relación que existente entre dos o más variables. Nos interesan los modelos matemáticos que relacionan dos variables.

Una de las variables se asume como variable independiente y tradicionalmente se le asigna la letra x. Otras letras que se utilizan para la variable independiente son: q cuando se trata de producción, t para el tiempo.

La otra variable es la variable dependiente que por tradición se le asigna la letra y.

A continuación daremos diferentes definiciones de función.

FUNCIÓN:

Es una ley o regla que asigna a cada valor de un conjunto A un único valor de un conjunto B.

FUNCIÓN:

Es un tipo especial de relación de que expresa como una cantidad depende de otra cantidad .

Una función es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente un número de salida. Al conjunto de números de entrada a los cuales se les aplica la regla se le llama dominio de la función. El conjunto de números de la salida es llamado rango.
La regla o relaciones funcionales son especificadas por una fórmula que muestra lo que debe hacerse con la entrada para especificar la salida.

VISITA ESTAS PÁGINAS PARA QUE AMPLIES EL CONCEPTO DE FUNCIÓN

http://www.youtube.com/watch?v=iBFu6kLa9uY


http://www.youtube.com/watch?v=MCpK0CXC7t4
NOTACIÓN DE FUNCIÓN

Para indicar que la variable dependiente y está escrita en términos de la variable independiente x (o lo que es lo mismo, depende de la variable independiente x), lo hacemos mediante la siguiente notación:

y=f(x)

Que se lee y igual a efe de x

Se puede utilizar otras letras.


y=g(x)
y=f(z)
y=c(q)
y=s(t)

La variable independiente es la que está dentro del paréntesis.


DOMINIO Y RANGO.

DOMINIO: El dominio para cualquier función está constituido por todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x). Todos los valores tomados de los números reales.

PARA AMPLIAR EL CONCEPTO DE DOMINIO PUEDES OBSERVAR LOS SIGUIENTES VIDEOS

http://www.youtube.com/watch?v=PNf3aP5E7Eo

http://www.youtube.com/watch?v=fclwNoVpx6Q

RANGO: El rango para cualquier función está constituido por todos los números que puede tomar la variable dependiente (la y). Al rango también se le conoce como la imagen de la función

¿Qué números o qué cantidades o qué expresiones no pertenecen a los números reales?

La respuesta es que a los números reales no pertenecen ni la división entre cero, ni los números imaginarios (Raíz par de un número negativo), ni el logaritmo de números negativos ó de cero.

Para ampliar más sobre estos temas puedes consultar las siguientes páginas en internet:

http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml#fun


http://www.jfinternational.com/funciones-matematicas.html


http:///">http://descartes.isftic.mepsyd.es/materiales_didacticos/Derivada_de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htm
http://mathway.com/



Para entender mejor el concepto de función partamos de las siguientes situaciones cotidianas.

SITUACIÓN PROBLÉMICA 1:


En cierto país el costo del correo se rige por la siguiente tabla

Peso en gramos y Costo
Hasta 20 g El costo es U.S. $ 0.20

Entre 20 g y 50 g El costo es: U.S. $ 0.26

Entre 50 g y 110 g el costo es: U.S. $ 0.39

Entre 100 g y 250 g el costo es: U.S. $ 0.85

Entre 250 g y 500 g el costo es: U.S. $ 1.70

Entre 500 g y 1000 g el costo es: U.S. $ 2.35

Entre 1000 g y 2000 g el costo es:U.S. $ 3.20


Carlos y Manuela le escriben a sus amigos José, Natalia, Lina y Sebastián. La carta de José pesa 15 g, La de Natalia pesa 85 g, la de Lina 90 g y la de Sebastián pesa 525 g. Contesta:

¿Cuánto cuesta poner cada carta?

Solución:
La carta de José cuesta U.S. $ 0.20
La carta de Natalia cuesta U.S. $ 0.39.
La carta de Lina cuesta U.S. $ 0.39.
La carta de Sebastián cuesta U.S. $ 2.35.

¿Es posible que a dos cartas les corresponda el mismo valor?

Solución:
Si es posible, lo podemos ver con las cartas de Natalia y Lina, ya que ambas cuestan U.S $ 039 aunque tienen diferentes pesos.

¿A una misma carta le puede corresponder costos distintos?

Solución:
No es posible, ya que no sería lógico pagar dos veces por una misma carta.

¿Cuál de las dos siguientes afirmaciones es correcta? Justifica:
El peso de la carta depende del costo de la misma.
El costo de la carta depende del peso de la misma.

Solución:
El costo de una carta depende de su peso, ya que como lo podemos ver en la tabla, la tarifa para el costo de cata carta está dada en términos de su peso.

¿Qué valores puede asumir la variable costo de envío?

Solución:

Cualquier valor entre U.S. $ 0.20 y U.S. $ 3.20

¿Qué valores puede asumir la variable peso de la carta?

Solución:

Cualquier valor entre 0 g y 2000 g, obviamente cero gramos no sería un valor que se incluya, ya que, corresponde a no envira una carta, y usted no pagaría por no enviar una carta.
Entonces, la respuesta correcta es: De cero gramos en adelante (sin incluir el cero) hasta 2000 gramos.


SITUACIÓN PROBLÉMICA 2:

Para la relación nota definitiva en matemáticas generales y los 40 estudiantes de Contaduría Pública que finalizaron el primer semestre en la CORPORACIÓN UNIVESITARIA RÉMINGTON, determine:

¿Qué valores puede asumir la variable nota definitiva en matemáticas generales?

Solución:

Cualquier número entre cero y cinco.


¿Qué valores puede asumir la variable estudiante?

Cualquier número entero entre 0 y 40.


¿La nota depende del estudiante ó el estudiante depende de la nota?

Solución:
La nota depende del estudiante, ya que si conozco el nombre del estudiante puedo saber cuál es su nota mirando en la planilla.
Pero si lo tomamos al revés, conociendo una nota, no puedo saber a qué estudiante pertenece, por ejemplo, la nota 3.5 ¿a qué estudiante pertenece? La respuesta es que la pueden tener varios estudiantes.

Si llamamos Dominio a todos los valores que puede tomar la variable independiente, ¿cuál es el dominio en esta situación problémica?

Solución:

Si asumimos que en un salón hay 40 estudiantes entonces el dominio corresponde a todos los números enteros entre 0 y 40, es decir,



Si llamamos Rango a todos los valores que puede asumir la variable dependiente, ¿Cuál es el rango en este caso?

Solución:

El rango corresponde al valor de todas las notas que puede obtener un estudiante, es decir cualquier número entre 0 y 5,



¿Es posible que un estudiante tenga dos ó más notas diferentes en matemáticas generales?

Solución:

No es posible, ya que la nota en Matemáticas y en cualquier materia es única.

¿Es posible que una misma nota corresponda a dos ó más estudiantes diferentes?

Solución:

Si es posible, ya que, puede suceder que dos ó más estudiantes tengan la misma nota de 5.0 ó 3.0, ó 2.5, ó cualquier otra nota igual.


SITUACIÓN PROBLÉMICA 3:

En una fábrica se tiene que hay en total 835 empleados, los sueldos que se pagan mensualmente oscilan entre 1 y 12 salarios mínimos legales.

¿Cuáles variables se relacionan en esta situación problémica?
Solución:

Variable independiente: Empleado.
Variable dependiente: Salario del empleado.

¿Es posible que un empleado tenga dos ó más sueldos diferentes? ¿Por qué?

Solución:

No es posible, porque a ninguna persona le pagan dos ó más veces por realizar el mismo trabajo.

¿Es posible que un mismo sueldo corresponda a dos ó más empleados diferentes? ¿Por qué?

Solución:

Si es posible, podemos ver que hay muchas personas ganándose por ejemplo el mínimo.

¿Cuál es la variable dependiente?

Solución:

Salario ó sueldo de cada empleado.

¿Cuál es la variable independiente?

Solución:

Empleado ó trabajador.

¿Cuál es el domino?

Solución:

Cualquier número entero entre cero y 835, son 835 trabajadores.

¿Cuál es el rango?

Solución:

Cualquier número entre 1 y 12 salarios mínimos, el número puede ser decimal ó entero.


SITUACIÓN PROBLÉMICA 4:

Carlos tiene una lámina rectangular de cartón de 30 cm de largo por 20 cm de ancho. Recorta cuadrados de lado en las cuatro esquinas para construir una caja sin tapa, como lo muestra la secuencia en la figura siguiente.




Podemos ver que:
El alto de la caja es: x cm
El ancho de la caja es: 30-2x cm
El largo de la caja es: 20-2x cm

El volumen de una figura rectangular, como la anterior, se obtiene multiplicando altura por ancho por largo.

HAGAMOS UNA PLANTILLA EN EXCEL PARA DETERMINAR EL VOLUMEN DE LA CAJA PARA DIFERNTES VALORES DE x

PLANTILLA PARA DETERMINAR EL DOMINIO Y EL RANGO DE LA FUNCIÓN:
v(x)=4x^3-100x^2-600x 〖cm〗^3

En la columna valor de x ingresamos números positivos, en este caso, números del cero al veinte.
En la columna correspondiente a v(x) escribimos la fórmula para el volumen. =4*A2^3-100*A2^2+600*A2. Desplegamos y se obtiene la información de la tabla.



ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN DE LA TABLA ANTERIOR:

¿Es posible que se pueda construir la caja quitando en cada esquina un cuadrado de lado cero, es decir, cuando x = 0?

¿Para qué valores de x es posible construir la caja?

¿Es posible que no se pueda construir la caja para algunos valores de la variable x?


Contesta las siguientes preguntas:

¿La expresión para el volumen de la caja es?

Solución:

Volumen = alto * ancho * largo
Sea: el volumen.
Tenemos que:

v(x)=x(30-2x)(20-2x)

Efectuemos las multiplicaciones correspondientes y reduzcamos términos semejantes:

v(x)=(30x-2x^2 )(20-2x)
v(x)=600x-60x^2-40x^2-4x^3
v(x)=4x^3-100x^2+600x 〖cm〗^2

¿Qué variables intervienen en esta situación problémica?

Solución:

Intervienen diferentes variables que son:
Altura de la caja, ancho de la caja, largo de la caja y volumen de la caja.
Podemos ver que el largo, el ancho y el volumen de la caja dependen de la altura de la caja.
También podemos ver que el volumen depende del ancho, el largo y la altura de la caja.
Observando la función anterior, podemos afirmar que el volumen depende de la altura de la caja.
Las variables de la situación problémica son:
Variable independiente: Altura de la caja (ó lado del cuadrado a quitar).
Variable dependiente: Volumen de la caja.

¿Cuál es la variable independiente?
Altura de la caja.

¿Cuál es la variable dependiente?
Volumen de la caja.

¿Cuál es el domino?

Solución:

Recordemos que el dominio consiste en todos los valores que puede asumir la variable independiente, es decir la x.
Para este caso particular, debemos dar valores a x que permitan que se pueda fabricar una caja con la lámina de cartón de 30 cm por 20 cm.
No sobra indicar que:
Con una de las dimensiones igual a cero, no puede haber caja, no es posible construir una caja con dimensiones negativas, es decir, la altura, el largo y el ancho de la caja solo pueden asumir valores positivos.
Para contestar esta pregunta observemos los resultados de la plantilla en Excel, dando valores a x y observando que valores toma v(x).


Podemos ver que para x = 0, se obtiene v(x) = 0, por lo tanto, x = 0 no pertenece al dominio de v(x).

También se observa que el v(x) es positivo:
Desde x = 1 hasta x = 9, (en x = 0 y en x = 10 v(x) = 0)
Desde x = 18 v(x) es positivo.

Recordemos que no puede suceder que una de las dimensiones de la caja sea negativa.

Podemos ver que si x = 18:
El alto de la caja seria: x=18 cm
El ancho de la caja seria: 30-2x=30-2*18=-6 cm
El largo de la caja sería: 20-2x=20-2*18=-16 cm
Esto sucede si se toman valores de 18 en adelante.
Las dimensiones negativas no son permitidas.

Por lo tanto el dominio de v(x) es: x∈(0,10)

El paréntesis quiere decir que no se incluyen los extremos, en este caso ni el valor x = 0 ni el valor x = 10, pero si los valores de x de cero en adelante, hasta el 10 sin incluir el 10.

¿Cuál es el rango?

Solución:

Recordemos que el rango consiste en todos los valores que puede asumir la variable dependiente, en este caso la variable dependiente es el volumen de la caja.
El volumen de la caja no puede ser ni cero, ni negativo.
Para determinar el dominio y el rango utilicemos el Excel:

Para el rango observemos la columna correspondiente a v(x) para los valores de x entre 0 y 10, podemos ver que v(x) toma valores desde cero hasta 1056 y luego vuelve a llegar a cero.
Rango: y∈(├ 0,1056] ┤

El corchete en un intervalo quiere decir que se incluye el extremo, es decir, el volumen puede alcanzar los 1056 cm3.

¿El volumen depende del tamaño del cuadrado a quitar ó el tamaño del cuadrado a quitar depende del volumen? Justifique.

Solución:

Podemos ver que el volumen depende del tamaño del cuadrado a quitar, ya que dependiendo de este la altura, el largo aumentan ó disminuyen, lo mismo sucede con el volumen.

SITUACIÓN PROBLÉMICA 5:


Un mayorista tiene la siguiente promoción del día:
Vende piñas a 2000 pesos la unidad y ofrece un descuento de 10 pesos por piña comprada.

Contesta las siguientes preguntas.

Si vende una piña ¿cuál es su ingreso?

Solución:

Precio = 2000 – 10(1) = 1990.
Ingreso = 1990(1) =1990.

Si vende dos piñas ¿Cuál es su ingreso?

Solución:

Precio = 2000 – 10(2) = 1980. Pesos.
Ingreso = 1980(2) = 3960 pesos.

Si vende 10 piñas ¿Cuál es su ingreso? ¿Cuál es el precio de venta de cada piña?

Solución:

Precio = 2000 – 10(10) = 1900.
Ingreso = 1900(10) = 19000 pesos.

¿Qué variables intervienen en la situación problémica?

Solución:

Sea q: Número de piñas vendidas.
Sea y = r(q): Ingreso obtenido por la venta de las q piñas.

¿Cuál es la variable dependiente?

Solución:

Ingreso obtenido por la venta de q piñas.

¿Cuál es la variable independiente?

Solución:

Cantidad q de piñas vendidas.

¿Es posible representar esta situación problémica utilizando un modelo?

Solución:

Si.

Encuentre un modelo ó expresión matemática que represente el ingreso del mayorista.

Solución:

Para construir la función de ingreso en la venta de la q piñas, tengamos en cuenta que:

Ingreso = precio de venta multiplicado por la cantidad vendida.

En la siguiente tabla podemos observar mejor la construcción de la función de ingreso para la venta de q piñas.



Cantidad de
piñas vendidas Precio de venta Ingreso

1 2000 – 10(1) [2000 – 10(1)]*1
2 2000 – 10(2) [2000 – 10(2)]*2
3 2000 – 10(3) [2000 – 10(3)]*3
4 2000 – 10(4) [2000 – 10(4)]*4

Q 2000 – 10q (2000 – 10q)*q

Como y = r(q) es el ingreso obtenido al vender q piñas:

r(q)=(2000-10q)q=2000q-10q^2

r(q)=2000q-10q^2
Para contestar las preguntas 9, 10, 11 y 12 hagamos una plantilla en Excel.

Cantidad
vendida

Ingreso obtenido
0 0
10 19000
20 36000
30 51000
40 64000
50 75000
60 84000
70 91000
80 96000
90 99000
100 100000
110 99000
120 96000
130 91000
140 84000
150 75000
160 64000
170 51000
180 36000
190 19000
200 0
210 -21000
220 -44000
230 -69000
240 -96000
250 -125000


¿Bajo qué condiciones es esta promoción rentable para el mayorista?
Cuando vende 100 piñas, ya que de esta manera su ingreso es de 100000 pesos y es el máximo ingreso que puede obtener.

¿Bajo qué condiciones el mayorista obtendrá el máximo ingreso?
Cuando vende 100 piñas a un precio de 1000 pesos cada una, con un ingreso máximo de 100000 pesos.

¿Cuál es el domino de la expresión anterior?

Dom. q∈[0,200]

¿Cuál es el rango de la expresión anterior?

y∈[0,100000]

SITUACIÓN PROBLÉMICA 6.

Fíjate en la siguiente gráfica y en lo que dice Mateo.



Salí de mi casa a visitar a Mariana. Llegué a su casa y la esperé un rato. Luego, salimos al parque y conversamos. Finalmente volvimos juntos a mi casa.

Contesta:

¿A qué hora salió Mateo de su casa?

Solución:

Observando la gráfica anterior podemos ver que Mateo salió de su casa las 7:30.

¿Cuánto tiempo tardó en llegar a la casa de Mariana y qué distancia recorrió?

Solución:

Demoró 30 minutos.
Recorrió una distancia de 800 metros. (Esto se lee en el eje vertical).

¿Cuánto tiempo debió esperar a Mariana?

Solución:

Esperó aproximadamente 15 minutos.

¿Qué distancia hay de la casa de Mariana al parque?

Solución:

1600m – 800m = 800m

¿Cuánto tiempo tardaron en ir de la casa de Mariana al parque?

Solución:

45 minutos

¿Cuánto tiempo permanecieron en el parque?

Solución:

Una hora y 30 minutos (1:30).

¿Qué distancia hay del parque a la casa de Mateo? ¿Cuánto se demoraron en recorrer esta distancia?

Solución:

1600 metros.

¿Cuánto tiempo transcurrió desde que Mateo salió y regresó a su casa?

Solución:

3 horas.

Tomado de MATEMÁTICA EXPERIMENTAL 8. Julio Alberto Uribe Cálad Marco Tulio Ortiz Díez. UROS EDITORES.



SITUACIÓN PROBLÉMICA 7.

Para la función:
y=f(x)=(2x+50)/(3x^2-9x)

Haga una plantilla en Excel en la cual se observe los valores de y=f(x) para diferentes valores de x.
X Y
-10 0,07692308
-9 0,09876543
-8 0,12878788
-7 0,17142857
-6 0,2345679
-5 0,33333333
-4 0,5
-3 0,81481481
-2 1,53333333
-1 4
0 #¡DIV/0!
1 -8,66666667
2 -9
3 #¡DIV/0!
4 4,83333333
5 2
6 1,14814815
7 0,76190476
8 0,55
9 0,41975309
10 0,33333333

Explique ¿por qué en la tabla de valores aparece valores de con la expresión #¡DIV/0!?

¿Cuál es el dominio de la función?

¿Cuál es el rango de la función?


SITUACIÓN PROBLÉMICA 8.

Para la función:
y=f(x)=√(x^2+3x-18)


Haga una plantilla en Excel en la cual se observe los valores de y=f(x) para diferentes valores de x.

X Y
-10 7,21110255
-9 6
-8 4,69041576
-7 3,16227766
-6 0
-5 #¡NUM!
-4 #¡NUM!
-3 #¡NUM!
-2 #¡NUM!
-1 #¡NUM!
0 #¡NUM!
1 #¡NUM!
2 #¡NUM!
3 0
4 3,16227766
5 4,69041576
6 6
7 7,21110255
8 8,36660027
9 9,48683298
10 10,5830052


Explique ¿por qué en la tabla de valores aparece valores de con la expresión #¡NUM!?

¿Cuál es el dominio de la función?

¿Cuál es el rango de la función?



SITUACIÓN PROBLÉMICA 9.


Para la función:
y=f(x)=√(16-x^2 )


Haga una plantilla en Excel en la cual se observe los valores de y=f(x) para diferentes valores de x.

X Y
-10 #¡NUM!
-9 #¡NUM!
-8 #¡NUM!
-7 #¡NUM!
-6 #¡NUM!
-5 #¡NUM!
-4 0
-3 2,64575131
-2 3,46410162
-1 3,87298335
0 4
1 3,87298335
2 3,46410162
3 2,64575131
4 0
5 #¡NUM!
6 #¡NUM!
7 #¡NUM!
8 #¡NUM!
9 #¡NUM!
10 #¡NUM!


Explique ¿por qué en la tabla de valores aparece valores de con la expresión #¡NUM!?

¿Cuál es el dominio de la función?

¿Cuál es el rango de la función?


En las situaciones problémicas anteriores podemos ver algunos conceptos que debemos formalizar, tales conceptos son:
Evaluación de funciones.
Tipos de funciones y su clasificación.
Determinación del dominio.
Grafica de las funciones.


EVALUACIÓN DE FUNCIONES.

Consiste en reemplazar en la función ó modelo matemático a x por el valor indicado y obtener la respectiva y.


INTERSECCIONES CON LOS EJES:

Una intersección con los ejes es el punto donde la gráfica de la función corta cada uno de los ejes.

A partir de una gráfica las intersecciones con el eje x corresponden a los puntos donde la gráfica corta el eje x.


A partir de una gráfica, las intersecciones con el eje y son los puntos donde la gráfica corta el eje y.

CONTINUIDAD:

Se dice que una función es continua en todo su dominio, cuando se puede recorrer toda la gráfica sin tener que levantar la mano, cuando no hay huecos o espacios entre sus gráficas, si algo de esto se llega a presentar se dice que la función es discontinua.

La función mostrada en la figura 1 es continua, porque podemos recorrer toda su gráfica sin necesidad de levantar la mano.

La función mostrada en la figura 2 es discontinua (no es continua), porque al recorrer su gráfica hay que levantar la mano para continuar, ó porque hay un espacio entre sus gráficas. Esta función es discontinua en el punto x1.

Para indicar puntos de discontinuidad se debe nombrar la x del punto.





INTERVALOS DECRECIMIENTO E INTERVALOS DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN:

CRECIMIENTO: Se dice que una función es creciente cuando al aumentar la x, la y también aumenta (o viceversa).

DECRECIMIENTO: Se dice que una función es decreciente cuando al aumentar la x, la y disminuye (o viceversa).

Entiéndase por x a la variable independiente, entiéndase por y a la variable dependiente.


Gráficamente se puede determinar fácilmente si una función es creciente o decreciente, recorriendo la gráfica del modelo de izquierda a derecha, si la sensación es que se sube por la gráfica, quiere decir que en este tramo la función es creciente, y si la sensación es de bajada, quiere decir que en este tramo la función es decreciente.

Para determinar intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento siempre se toma como límites del intervalo el valor de x del punto y los intervalos serán abiertos (en algunos textos se toman cerrados).

Observa el siguiente video.

http://www.youtube.com/watch?v=mvj_KLgO_5Q
Para la figura 3 tenemos que los intervalos de crecimiento y de decrecimiento son:



Crecimiento: Desde - infinito hasta x1 y desde x2 hasta más infinito.
Decrecimiento: Desde x1 hasta x2


CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

En este tema nos interesa: Identificar el tipo de función, determinar su dominio (a partir de unos valores específicos de x utilizando el Excel), representar gráficamente la función (utilizando el Derive), determinar intervalos de decrecimiento e intervalos de crecimiento y determinar continuidad y discontinuidad de funciones (Observando la gráfica).

FUNCIÓN POLINÓMICA

Una función polinómica es toda función de la forma:




Se identifica porque:
No tiene variable en logaritmos, no tiene variable en el denominador, no tiene variable dentro de una raíz, no es exponencial, no es trigonométrica.

Ejemplos.

y=7x^3-9x^2+7x-5

DOMINIO:
El dominio de las funciones polinómicas está formado por el conjunto de todos los números reales.

CONTINUIDAD: Las funciones polinómicas son continuos en todo su dominio.


REPRESENTACIÓN GRÁFICA: La forma de graficar las modelos polinómicas depende de cada tipo de modelo.
Las funciones polinómicas se clasifican a su vez en:

MODELO LINEAL Ó FUNCIÓN DE PRIMER GRADO:
Es un modelo de la forma: y=mx+b



m y b son constantes y representan: m la pendiente y b el intercepto o punto de corte de la línea recta con el eje y.

NOTA:
Cuando la pendiente es positiva, la función es siempre creciente.
Cuando la pendiente es negativa, la función es siempre decreciente.


FUNCIÓN CUADRÁTICA Ó FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO

Es una función de la forma: y=ax^2+bx+c



Donde a, b, c son constantes con a diferente de cero .

DOMINIO:
Por ser una función polinómica, su dominio corresponde a todos los números reales.


GRÁFICA:
Esta modelo corresponde a una parábola y su gráfica depende del valor de a.
Sí a es positiva . La parábola abre hacia arriba, por lo tanto el vértice de la parábola corresponde a un mínimo.
Sí a es negativa . La parábola abre hacia abajo, por lo tanto el vértice de la parábola es un máximo.

VERTICE DE UNA PARÁBOLA

El vértice es el punto en el cual la parábola pasa de crecer a decrecer ó de decrecer a crecer.
Lo podemos ver en la figura 10:




Figura 10: Forma de una parábola.

FUNCIÓN RACIONAL
Es una función de la forma: y=g(x)/h(x)


Se identifica porque la función tiene x en el denominador.
La función racional es la función cociente de dos funciones polinómicas.

DOMINIO:
Está formado por todos los números reales menos los polos de la función.
Un polo es un valor de x donde el denominador se hace cero.

Ejemplo4:
Para la función y=f(x)=(5-9x^2)/(2x^2+3x-20)
Determine:
Dominio.
Indique en que intervalos la función es continua.
Halle: f(-3/5)
SOLUCIÓN

Dominio:
2x^2+3x-20=0
2*-20=-40
Los números son 8 y-5
2x^2+8x-5x-20=0
(2x^2+8x)-(5x+20)=0
2x(x+4)-5(x+4)=0
(x+4)(2x-5)=0
(x+4)=0∨(2x-5)=0
x=-4∨x=5/2
Dominio:
x≠-4∧x≠5/2


Continuidad: (-∞,-4),(-4,5/2),(5/2,∞)
f(-3/5)
f(-3/5)= (5-9(-3/5)^2)/(2(-3/5)^2+3(-3/5)-20)=(5-9(9/25))/(2(9/25)-9/5-20)=(5-81/25)/(18/25-9/5-20)=((125-81)/25)/((18-45-500)/25)
=(44/25)/(-527/25)=-(44*25)/(527*25)=-44/527
f(-3/5)=-44/527


FUNCIONES RACIONALES CON ASÍNTOTAS OBLICUOAS

Las asíntotas oblicuas se presentan cuando la función racional tiene la forma:

Y=g(x)/h(x)

Y se tiene que la función g(x) es un grado mayor que la función h(x)
Y además se tiene que tanto g(x) como h(x) no tiene factores comunes.
En este caso la asíntota oblicua se obtiene efectuando la división de g(x)/h(x) cuyo resultado es:c(x)+r(x)/h(x)


Donde:
c(x)Es el cociente de la división y corresponde a una línea recta, esta es la asíntota oblicua.

r(x): Es el residuo que resulta de la división.
r(x)/q(x)Es la función racional a graficar, se grafica igual que en los ejercicios anteriores.

La gráfica de r(x)/q(x) tiende a tocar a la asíntota oblicua pero ni la toca ni la corta.

FUNCIÓN IRRACIONAL

Es una función de la forma: y=f(x)=(g(x))^(1/n)

Se identifica porque tiene variable dentro de un radical.
Llamamos función irracional a aquella en la que la variable aparece elevada a exponentes racionales no enteros.

DOMINIO:
Se presentan dos casos:

Caso #1:
Si la raíz es impar el dominio corresponde a todos los números reales: Dom.

Caso #2:
Si la raíz es par, se debe garantizar que los valores que se le asignen a “x” hagan positivo todo dentro de la raíz.

NOTA:
Una función irracional es continua en todo su dominio.



FUNCIÓN EXPONENCIAL
Es una función de la forma:
y=f(x)=b^g(x) Exponencial general
b>0,b≠1


DOMINIO:
El dominio depende de g(x).

Es una función exponencial que tiene en el exponente un polinomio, su dominio corresponde a todos los números reales.


FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Es una función de la forma:




DOMINIO:
Para hallar el dominio se debe resolver la inecuación: g(x)>0


USO DE LA TECNOLOGÍA

Para graficar funciones existe software como el Derive, el Excel, el matlab.

En el siguiente enlace nos muestran pautas para realizar graficas en Derive

http://www.slideshare.net/eceballos2/graficas-en-derive-60-2605016


Y en el siguiente enlace podemos obtener información sobre el derive


http://www.upv.es/derive/index.html

miércoles, 2 de diciembre de 2009

ACTIVIDADES PRE

Para cada una de las siguientes preguntas contesta falso ó verdadero, justifica las respuestas.

1.La solución de la ecuación:



Es x = 3

a.Verdadero
b. falso

2.Los racionales son aquellos números que se pueden escribir como el cociente entre dos números enteros, siempre que el denominador sea diferente de cero.

a. Verdadero.
b. Falso.

3.Los números imaginarios están formados por la raíz negativa de un número par.

a.Verdadero
b. Falso.

4.La raíz de los números negativos no existe.

a.Verdadero.
b.Falso.

5.El logaritmo de los números negativos no existe.

a.Verdadero.
b. falso.

6.El resultado de 2^0 no existe.

a.Verdadero
b. Falso.

7.Al dividir un número diferente de cero, entre cero, el resultado es igual a cero.

a.Verdadero
b. Falso.

En una relación entrada salida, la entrada la representamos por la letra x y la salida la representamos por la letra y, ambas letras están relacionadas por un mecanismo (que puede ser una fórmula ó expresión matemática). Escriba dos fórmulas diferentes que cumplan con la relación para cada par entrada salida.

8.Entrada x = 5, salida y = 10.
Actividad: Escriba algunas soluciones posibles

9.Entrada x = 2, salida y = 3 / 4.
Actividad: escriba algunas soluciones posibles:


10.Entrada x = - 5, salida y = 12
Actividad: escriba Algunas soluciones posibles:


Para cada pregunta seleccione la opción correcta:

11.El resultado de 3^(-2) es:

a.-6
b.-9
c.9.
d.1/9

12.La ecuación x^2=25 tiene como solución:

a.x = 5
b.x = - 5
c.x = - 5 ó x = 5
d.x = 25

13.Al reemplazar la variable x por 3 en la expresión ax+b el resultado es 19/2. Los valores de a y b que cumplen con esta igualdad, son respectivamente:

a.9/2, 5.
b.23/6, 2.
c.3/2, 10.
d.17/6, 1.

14.La expresión: 0*(8/0) es igual a:

a.8
b.0
c.indefinido
d.Indeterminado.

15.Al reemplazar la variable x por - 2 en la expresión ax^2+bx+c el resultado es 36. Los valores de a,b,y c que cumplen con la igualdad, son respectivamente:

a.7, - 9, -10.
b.- 7, 9, 46.
c.7, 9, - 26.
d. 28, - 18, 26.

16.Dada la expresión: 25/0 se puede afirmar que:

a.Es indeterminada.
b.No existe.
c.Es igual a 25
d.Es igual a cero.

17.Si en un rectángulo, la base es 5 cm y su altura es el doble de la base, entonces el perímetro y la altura del rectángulo son, respectivamente:

a.30 cm y 50 cm2.
b.15 cm y 25 cm2.
c.20 cm y 25 cm2.
d.5 cm y 10 cm2.


18.En un rectángulo la base es el doble de su altura, si la altura la representamos con la letra x, la expresión para el perímetro del rectángulo es:

a.4x.
b.6x^2
c.2x^2.
d.6x

19.La expresión para el área del rectángulo anterior es:

a.2x.
b.2x^2.
c.x^2.
d.4x.

20.Se tiene un cuadro como se muestra en la siguiente figura.




Si el valor de x varía entre 1 y 3, entonces el área del cuadro varía entre:


a. 8 y 16
b. 1 y 9
c. 2 y 4
d. 4 y 16


21. Para la figura:



La expresión para el área sombreada es:

a.7/8 πx^2.
b.3/4 πx^2.
c.1/2 πx^2.
d.πx^2.

Utilice sus propias palabras para contestar las siguientes preguntas:

22. ¿Qué es Perímetro?
23. ¿Qué es Área?
24. ¿Cómo se halla el área sombreada de un círculo inscrito en un cuadrado?
25. ¿Cómo se suman números fraccionarios homogeneos?
26. ¿Qué significa un exponente numérico negativo?
27. ¿Qué es una raíz de una ecuación lineal?

lunes, 23 de noviembre de 2009

AMBIENTACIÓN

Gottfied Wilhem Leinbiz (1646 - 1716) Introdujo el término función en el vocabulario matemático por primera vez en el siglo XVII.


Isaac Newton (1642 - 1727) Junto con Leinbinz es considerado el inventor del Cálculo Integral.




FUNCIONES

CONCEPTOS BÁSICOS A DESARROLLAR: DOMINIO Y RANGO.

AMBIENTACIÓN:

EL PAPEL DE LAS FUNCIONES

‘’Sin darles mayor importancia, todos los días se manipulan funciones matemáticas de algún tipo. Una lista de productos y sus respectivos precios es una función. Un directorio telefónico es una función. Las calificaciones que reciben los estudiantes al final de un período de estudio son funciones. Función es la lista que lleva Juan del número de goles que anota su equipo favorito en cada partido de fútbol que éste juega, o la que lleva Marcela del número de expedientes que se despachan cada día en la oficina donde trabaja.
Las funciones hacen parte de la vida cotidiana tanto como los números y los conjuntos, pero se hace uso de ellas sin necesidad de conocer formalmente su carácter matemático. Un conocimiento más detallado y riguroso del concepto de función en su forma más general, tal y como se desarrolló históricamente, permite explorar lo que constituye uno de los logros científicos más importantes que puede exhibir la humanidad: el cálculo diferencial e integral.
Una función no es más que una manera de relacionar entre sí los objetos de dos conjuntos cualesquiera.
Una lista de los precios de unos productos es la relación que existe entre cada uno de los productos que en un momento dado le interesan a alguien, y todos los precios posibles que estos productos podrían tener. El hecho de que a cada uno de los productos le corresponda un precio, y solamente uno, es lo que hace de la lista de precios una función. Una función no permite ambigüedad; para cada producto sólo puede haber un precio… ’’

Tomado de: ENCICLOPEDIA TEMÁTICA ILUSTRADA CÍRCULO.